Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4a|（a＞0），若對(duì)x∈R，都有f（2x）﹣1≤f（x），則實(shí)數(shù)a的最大值為（　�。�
A.
B.
C.
D.1

Answer 1

【答案】B
【解析】解：f（2x）﹣1≤f（x）恒成立，即|2x﹣a|﹣|2x﹣4a|﹣1≤|x﹣a|﹣|x﹣4a|恒成立，
即|2x﹣a|+|x﹣4a|≤|x﹣a|+|2x﹣4a|+1恒成立．
此不等式中，絕對(duì)值的“根”共有4個(gè)： ， a，2a，4a，
當(dāng)x＜時(shí)，不等式即 a﹣2x+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即0≤1．
當(dāng)≤x＜a時(shí)，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即2x﹣≤a，故有2a﹣≤a，即a≤ ．
當(dāng)a≤x＜2a時(shí)，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+4a﹣2x+1，即x≤ ．
當(dāng)2a≤x＜4a時(shí)，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+2x﹣4a+1，即 8a≤2x+1，故8a≤4a+1，可得a≤ ．
當(dāng)x≥4a時(shí)，不等式即 2x﹣a+x﹣4a≤a﹣x+2x﹣4a+1，即0≤1．
綜上可得，a≤ ， 故a的最大值為 ，
故選：B．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能正確解答此題．