Question

已知直線l₁：4x+3y-12=0與x軸和y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線l₂經(jīng)過點(diǎn)C(0，

3

2

)且與直線l₁垂直，垂足為M．
（Ⅰ）求直線l₂的方程與點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若將四邊形OAMC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的體積V．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)直線l₁的方程，得到直線l₂的斜率為k₂=

3

4

，從而設(shè)l₂的方程為3x-4y+m=0．再由點(diǎn)C(0，

3

2

)在直線l₂上，代入即可得m=6，得到直線l₂的方程．最后由兩條直線方程聯(lián)解，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

6

5

，

12

5

）；
（Ⅱ）根據(jù)直線l₁方程，分別求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合M（

6

5

，

12

5

），C(0，

3

2

)，得到將四邊形OAMC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是兩個(gè)錐體的差，最后用圓錐的體積公式可以求出其體積V．

解答：解：（Ⅰ）∵直線l₁：4x+3y-12=0的斜率為k₁=-

4

3

∴直線l₂的斜率為k₂=

-1

k1

=

3

4

，可設(shè)l₂的方程為3x-4y+m=0．
∵點(diǎn)C(0，

3

2

)在直線l₂上，
∴3×0-4×

3

2

+m=0，可得m=6．
∴直線l₂的方程為3x-4y+6=0．（2分）
再由

4x+3y-12=0 3x-4y+6=0

聯(lián)解，得

x= 6 5 y= 12 5

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

6

5

，

12

5

）．�。�4分）
（Ⅱ）∵直線l₁：4x+3y-12=0與x軸和y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，
∴令y=0，得x=3，得A（3，0）．再令x=0，得y=3，得B（0，4）．
∵M(jìn)（

6

5

，

12

5

），C(0，

3

2

)．　
∴將四邊形OAMC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是兩個(gè)錐體的差，
其體積為：V=

1

3

π•32•4-

1

3

π•(

6

5

)2•(4-

3

2

)=

54

5

π．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)兩條直線的方程，求參數(shù)m的值，并求四邊形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的幾何體積，著重考查了直線的相互關(guān)系和旋轉(zhuǎn)體的體積公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．