Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓C：的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓C上且異于點(diǎn)A、B，直線AP、PB與直線l：y＝－2分別交于點(diǎn)M、N.

（1）設(shè)直線AP、PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁·k₂為定值；
（2）求線段MN長的最小值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）k₁·k₂＝.＝＝－（2）MN長的最小值是4.
（3）為直徑的圓恒過定點(diǎn)（或點(diǎn)）

試題分析：解：（1）由題設(shè)可知，點(diǎn)A(0，1)，B(0，－1).
令P(x₀，y₀)，則由題設(shè)可知x₀≠0.
所以，直線AP的斜率k₁＝，PB的斜率為k₂＝.           2分
又點(diǎn)P在橢圓上，所以（x₀≠0），從而有
k₁·k₂＝.＝＝－.                             4分
（2）由題設(shè)可以得到直線AP的方程為y－1＝k₁(x－0)，直線PB的方程為
y－(－1)＝k₂(x－0).
由，解得；
由，解得.
所以，直線AP與直線l的交點(diǎn)，直線PB與直線l的交點(diǎn).
7分
于是，又k₁·k₂＝－，所以
≥2＝4，
等號(hào)成立的條件是，解得.
故線段MN長的最小值是4.                                      10分
（3）設(shè)點(diǎn)Q(x,y)是以MN為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則＝0，故有.
又，所以以MN為直徑的圓的方程為
.                           13分
令，解得或.
所以，以為直徑的圓恒過定點(diǎn)（或點(diǎn)）．16分
注：寫出一點(diǎn)的坐標(biāo)即可得分.
點(diǎn)評(píng):研究直線與圓的位置關(guān)系，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，并結(jié)合向量的知識(shí)來處理，圓過定點(diǎn)的問題，利用數(shù)量積為零，屬于基礎(chǔ)題。