7.現(xiàn)有4人去旅游,旅游地點有A,B兩個地方可以選擇,但4人都不知道去哪里玩,于是決定通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪里玩,擲出能被3整除的數(shù)時去A地,擲出其他的則去B地.
(1)求這4個人恰好有1個人去A地的概率;
(2)用X,Y分別表示這4個人中去A,B兩地的人數(shù),記ξ=X•Y,求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望E(ξ).

分析 (1)由題意這4人中,每個人去A地旅游的概率為$\frac{1}{3}$,去B地旅游的概率為$\frac{2}{3}$,設“這4個人中恰有i人去A地旅游”為事件Ai(i=0,1,2,3,4),P(Ai)=${C}_{4}^{i}(\frac{1}{3})^{i}(\frac{2}{3})^{4-i}$,由此能求出這4個人恰好有1個人去A地的概率.
(2)由題意ξ的可能取值為0,3,4,分別求出相應的概率,由此能求出隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望E(ξ).

解答 解:(1)由題意這4人中,每個人去A地旅游的概率為$\frac{1}{3}$,去B地旅游的概率為$\frac{2}{3}$,
設“這4個人中恰有i人去A地旅游”為事件Ai(i=0,1,2,3,4),
∴P(Ai)=${C}_{4}^{i}(\frac{1}{3})^{i}(\frac{2}{3})^{4-i}$,
∴這4個人恰好有1個人去A地的概率:
P(A1)=${C}_{4}^{1}(\frac{1}{3})^{1}(\frac{2}{3})^{2}$=$\frac{32}{81}$.
(2)由題意ξ的可能取值為0,3,4,
P(ξ=0)=P(A0)+P(A4)=$(\frac{2}{3})^{4}+(\frac{1}{3})^{4}$=$\frac{17}{81}$,
P(ξ=3)=P(A1)+P(A3)=${C}_{4}^{1}(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})^{3}$+${C}_{4}^{3}(\frac{1}{3})^{3}(\frac{2}{3})$=$\frac{40}{81}$,
P(ξ=4)=P(A2)=${C}_{4}^{2}(\frac{1}{3})^{2}(\frac{2}{3})^{2}$═$\frac{24}{81}$,
∴ξ的分布列為:

 ξ 0 3 4
 P $\frac{17}{81}$ $\frac{40}{81}$ $\frac{24}{81}$
Eξ=$0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}$=$\frac{8}{3}$.

點評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用.

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