Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)l₁，l₂，直線(xiàn)l₁與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)l₂與直線(xiàn)x=4交于N點(diǎn)．
（1）求證：線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)在直線(xiàn)ON上；
（2）求$\frac{|PQ|}{|FN|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件運(yùn)用離心率公式和菱形的面積公式，求出a，b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①設(shè)PQ的方程為：x=my+1代入橢圓方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系求出OG和ON的斜率，即可得證；
②討論，當(dāng)m=0時(shí)，求出N的坐標(biāo)，|NF|，|PQ|的長(zhǎng)，計(jì)算可得$\frac{|PQ|}{|FN|}$=1；當(dāng)m≠0時(shí)，求得|NF|，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式可得|PQ|，再由換元法，設(shè)t=m²+1，轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)，判斷單調(diào)性，可得所求范圍．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$•2a•2b=4$\sqrt{3}$，
又a²-b²=c²，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①證明：設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為：x=my+1，代入橢圓方程3x²+4y²=12，
得（3m²+4）y²+6my-9=0，
則判別式△=36m²+4×9（3m²+4）＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)G（x₀，y₀），
則y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
則y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$，x₀=my₀+1=$\frac{4}{3{m}^{2}+4}$，
即G（$\frac{4}{3{m}^{2}+4}$，-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$），
k_OG=-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$•$\frac{3{m}^{2}+4}{4}$=-$\frac{3m}{4}$，
設(shè)直線(xiàn)FN的方程為：y=-m（x-1），得N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3m），
∵k_ON=-$\frac{3m}{4}$，
∴k_OG=k_ON，
即線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)在直線(xiàn)ON上；
②當(dāng)m=0時(shí)，PQ的中點(diǎn)為F，N（4，0），
則|NF|=3，|PQ|=$\frac{2^{2}}{a}$=3，$\frac{|PQ|}{|FN|}$=1；
當(dāng)m≠0時(shí)，|NF|=$\sqrt{（4-1）^{2}+（-3m）^{2}}$=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
|PQ|=$\sqrt{1+\frac{1}{{{k}_{PQ}}^{2}}}$|y₂-y₁|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}-4•\frac{-9}{3{m}^{2}+4}}$=12•$\frac{{m}^{2}+1}{3{m}^{2}+4}$，
則$\frac{|PQ|}{|FN|}$=$\frac{4\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{4}{\sqrt{\frac{9{m}^{4}+16+24{m}^{2}}{{m}^{2}+1}}}$，
令t=m²+1，即m²=t-1（t＞1），
即有y=$\frac{9{m}^{4}+16+24{m}^{2}}{{m}^{2}+1}$=$\frac{9（t-1）^{2}+16+24（t-1）}{t}$=9t+$\frac{1}{t}$+6，
y′=9-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，可得函數(shù)y在（1，+∞）為增函數(shù)，
則y＞9+1+6=16，
則0＜$\frac{|PQ|}{|FN|}$＜$\frac{4}{4}$=1；
綜上可得$\frac{|PQ|}{|FN|}$的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓方程的求解以及直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系是應(yīng)用，利用直線(xiàn)和橢圓方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．