Question

13．已知f（x）=$\frac{1+ln2x}{{x}^{2}}$．
（1）若g（x）=ax²-ln2x-1（a∈R），討論g（x）的零點個數(shù)
（2）存在x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥k|x₁lnx₁-x₂lnx₂|成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于x的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值，通過討論a的范圍，求出函數(shù)g（x）的零點個數(shù)即可；
（2）令h（x）=f（x）+kxlnx，則問題等價于h（x）在（1，+∞）存在減區(qū)間，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為k≤$\frac{1+2ln2x}{{x}^{3}（lnx+1）}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出即可．

解答 解：（1）令g（x）=0，解得：a=$\frac{1+ln2x}{{x}^{2}}$=f（x），
f′（x）=$\frac{-1-2ln2x}{{x}^{3}}$，定義域為（0，+∞）
當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{2}{e^{-\frac{1}{2}}}）$時，f′（x）＞0，當(dāng)$x∈（\frac{1}{2}{e^{-\frac{1}{2}}}，+∞）$時，f′（x）＜0，
∴f（x）在$（0，\frac{1}{2}{e^{-\frac{1}{2}}}）$上遞增，在$（\frac{1}{2}{e^{-\frac{1}{2}}}，+∞）$上遞減
∴f（x）max=f（$\frac{1}{2}$${e}^{-\frac{1}{2}}$）=2e，當(dāng)x→0⁺時，f（x）→∞，
當(dāng)x→+∞時，f（x）→0（當(dāng)$x＞\frac{1}{2}{e^{-1}}$時，f（x）＞0）
∴當(dāng)a＞2e時，g（x）沒有零點，
當(dāng)a=2e或a≤0時，g（x）只有一個零點，
當(dāng)0＜a＜2e時，g（x）有兩個零點   …（6分）
（2）不妨設(shè)x₁＜x₂，由（1）知f（x）在（1，+∞）遞減，
∴f（x₁）＞f（x₂）y=xlnx在（1，+∞）上遞增，∴x₁lnx₁＜x₂lnx₂
則不等式可化為f（x₁）+kx₁lnx₁＞f（x₂）+kx₂lnx₂
令h（x）=f（x）+kxlnx，則問題等價于h（x）在（1，+∞）存在減區(qū)間，
$h'（x）=f'（x）+k（lnx+1）=\frac{-1-2ln2x}{x^3}+k（lnx+1）≤0$有解，
即k≤$\frac{1+2ln2x}{{x}^{3}（lnx+1）}$有解，令$m（x）=\frac{1+2ln2x}{{{x^3}（lnx+1）}}$，
$m'（x）=\frac{{-6{x^2}（lnx+1）-3{x^2}lnx-6{x^2}ln2xlnx-4{x^2}}}{{{x^6}{{（lnx+1）}^2}}}＜0$，
∴m（x）在（1，+∞）遞減，∴m（x）＜m（1）=1+2ln2，
∴k＜1+2ln2…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．