Question

已知函數(shù)f（x）=xm2-2m-3（m∈N^*）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f（3）＞f（5），求滿足(a+1)-

m

3

＜(3-2a)-

m

3

的a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)冪函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，可以確定m-3＜0，再根據(jù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即可得到f（x）為偶函數(shù)，從而確定m的值，構(gòu)造函數(shù)g（x）=，利用冪函數(shù)的性質(zhì)，即可列出關(guān)于a的不等式，求解不等式可以求得a的取值范圍．
根據(jù)冪函數(shù)在（0，+∞）上函數(shù)值隨x增大而減小，得到3m-9＜0，然后根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，得到函數(shù)為偶函數(shù)，確定m的值，然后解不等式即可．

解答： 解：解：∵函數(shù)f（x）=xm2-2m-3（m∈N^*）在（0，+∞）上遞減，
∴m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，
∵m∈N₊，
∴m=1，2，
又∵函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴f（x）為偶函數(shù)，
∴m²-2m-3是偶數(shù)，
又m=1時(shí)，m²-2m-3=-4為偶數(shù)；
m=2時(shí)，m²-2m-3=3為奇數(shù)，
∴m=1，
令g（x）=x -

1

3

，
∴g（x）=x -

1

3

在（-∞，0）和（0，+∞）上均為減函數(shù)，
∵(a+1)-

m

3

＜(3-2a)-

m

3

，
∴a+1＞3-2a＞0，或0＞a+1＞3-2a，或a+1＜0＜3-2a，
解得a＜-1，或

2

3

＜a＜

3

2

，
故a的取值范圍為{a|a＜-1或

2

3

＜a＜

3

2

，}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用條件求出m是解決本題的關(guān)鍵．