Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（πx+

π

3

），x∈R，有下列結(jié)論：
①對任意的x∈R有f（x+2）=f（x）；
②y=f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為4；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點（-

1

3

，0）對稱；
④y=f（x）的圖象關(guān)于x=

π

6

對稱；
⑤將函數(shù)f（x）的圖象按向量

a

平移后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則向量

a

的坐標(biāo)可能為（

1

3

，0）
其中正確的結(jié)論是

 

（寫出所有符合要求的序號）

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先對函數(shù)解析式進(jìn)行變換，結(jié)合選項進(jìn)行對比，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)對對稱軸、對稱中心、最值、及向量的平移問題進(jìn)行分析，求出具體答案．

解答： 解：函數(shù)f（x）=4sin（πx+

π

3

）=4sin[π（x+2）+

π

3

]
∴T=2 對任意的x∈R有f（x+2）=f（x） 
故：①正確
∵0≤x≤1∴

π

3

≤πx+

π

3

≤

4π

3

 
∴y=f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為4．
故：②正確
∵函數(shù)f（x）=4sin（πx+

π

3

）=4sin[π（x+

1

3

）]
∴將函數(shù)f（x）的圖象按向量

a

平移后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則向量

a

的坐標(biāo)為（

1

3

，0）
故：⑤正確
∵函數(shù)f（x）=4sin（πx+

π

3

）當(dāng)x=

1

6

函數(shù)取得最大值．
∴y=f（x）的圖象關(guān)于x=

1

6

對稱 
故：④錯誤
故選：①②③⑤

點評：本題考查的知識點：正弦型函數(shù)的對稱軸、對稱中心、最值、及函數(shù)的平移問題，屬于基礎(chǔ)題型．