Question

13．設拋物線y²=4x的焦點為F，準線為l．已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A．若∠FAC=120°，則圓的方程為（x+1）²+${（y-\sqrt{3}）}^{2}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得F（-1，0），∠FAO=30°，OA=$\frac{OF}{tan∠FAO}$=1，由此求得OA的值，可得圓心C的坐標以及圓的半徑，從而求得圓C方程．

解答 解：設拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），準線l：x=-1，∵點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切與點A，
∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA=$\frac{OF}{tan∠FAO}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=1，∴OA=$\sqrt{3}$，∴A（0，$\sqrt{3}$），如圖所示：
∴C（-1，$\sqrt{3}$），圓的半徑為CA=1，故要求的圓的標準方程為 ${（x+1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=1$，
故答案為：（x+1）²+${（y-\sqrt{3}）}^{2}$=1．

點評 本題主要考查求圓的標準方程的方法，拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題．