Question

5．在△ABC中，若cosA=$\frac{4}{5}$，cosC=$\frac{5}{13}$，a=1，則b=$\frac{21}{13}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，cosA=$\frac{4}{5}$，cosC=$\frac{5}{13}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$．利用和差公式可得：sinB=sin（A+C）．再利用正弦定理即可得出．

解答 解：在△ABC中，cosA=$\frac{4}{5}$，cosC=$\frac{5}{13}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{12}{13}$．
∴sinB=sin（A+C）=$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}+\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{63}{65}$．
由正弦定理可得：$\frac{1}{\frac{3}{5}}$=$\frac{\frac{63}{65}}$，解得b=$\frac{21}{13}$．
故答案為：$\frac{21}{13}$．

點評 本題考查了正弦定理、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．