Question

9．已知以y=±$\sqrt{3}$x為漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)D：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若P為雙曲線(xiàn)D右支上任意一點(diǎn)，則$\frac{{|P{F_1}|-|P{F_2}|}}{{|P{F_1}|+|P{F_2}|}}$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用y=±$\sqrt{3}$x為漸近線(xiàn)可得b=$\sqrt{3}$a，c=2a，利用0＜$\frac{{|P{F_1}|-|P{F_2}|}}{{|P{F_1}|+|P{F_2}|}}$≤$\frac{2a}{2c}$=$\frac{a}{c}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵雙曲線(xiàn)D：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)是y=±$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，可得b=$\sqrt{3}$a，c=2a
∵P為雙曲線(xiàn)D右支上一點(diǎn)，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a
而|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|=2c
∴0＜$\frac{{|P{F_1}|-|P{F_2}|}}{{|P{F_1}|+|P{F_2}|}}$≤$\frac{2a}{2c}$=$\frac{a}{c}$
∵c=2a，
∴$\frac{{|P{F_1}|-|P{F_2}|}}{{|P{F_1}|+|P{F_2}|}}$的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]．
故$\frac{{|P{F_1}|-|P{F_2}|}}{{|P{F_1}|+|P{F_2}|}}$的最大值是$\frac{1}{2}$
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)，考查雙曲線(xiàn)的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．