Question

9．若sin$\frac{α}{2}$=$\sqrt{1+sinα}$-$\sqrt{1-sinα}$，0≤α≤π，則tanα的值是0或-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，對α分類討論即可得出．

解答 解：∵0≤α≤π，∴$0≤\frac{α}{2}$≤$\frac{π}{2}$，
∴$\sqrt{1+sinα}$-$\sqrt{1-sinα}$=$\sqrt{（sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}）^{2}}$-$\sqrt{（sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}）^{2}}$=$sin\frac{α}{2}$+$cos\frac{α}{2}$-$|sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}|$，
當(dāng)α=0時(shí)，滿足sin$\frac{α}{2}$=$\sqrt{1+sinα}$-$\sqrt{1-sinα}$，則tanα=0；
當(dāng)$0＜\frac{α}{2}≤\frac{π}{4}$時(shí)，$\sqrt{1+sinα}$-$\sqrt{1-sinα}$=$sin\frac{α}{2}$+$cos\frac{α}{2}$-$（cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}）$=2$sin\frac{α}{2}$=$sin\frac{α}{2}$，可得2=1，舍去；
當(dāng)$\frac{π}{4}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{π}{2}$時(shí)，$\sqrt{1+sinα}$-$\sqrt{1-sinα}$=$sin\frac{α}{2}$+$cos\frac{α}{2}$-$（sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}）$=2$cos\frac{α}{2}$，tan$\frac{α}{2}$=2，∴tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{2×2}{1-{2}^{2}}$=-$\frac{4}{3}$．
當(dāng)α=π時(shí)，sin$\frac{α}{2}$=$\sqrt{1+sinα}$-$\sqrt{1-sinα}$化為1=1-1=0，矛盾，舍去．
綜上可得：tanα=0或-$\frac{4}{3}$．
故答案為：0或-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．