Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足點（a_n，S_n）在直線y=2x+1上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得S_n=2a_n+1，運用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，即可得到所求通項公式；
（2）求出na_n=-n•2^n-1，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）由題意可得S_n=2a_n+1，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2a₁+1，解得a₁=-1，
當(dāng)n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+1-2a_n-1-1，
化簡可得a_n=2a_n-1，
即有a_n=-2^n-1（n∈N^*）；
（2）na_n=-n•2^n-1，
即有前n項和T_n=-（1•1+2•2+3•4+…+n•2^n-1），
2T_n=-（1•2+2•4+3•8+…+n•2ⁿ），
兩式相減可得，-T_n=-（1+2+4+…+2^n-1-n•2ⁿ）
=-（$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ），
化簡可得前n項和T_n=（1-n）•2ⁿ-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，屬于中檔題．