Question

19．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦點(diǎn)F₂，傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁為左焦點(diǎn)．求|AB|．

Answer 1

分析 求得橢圓的右焦點(diǎn)，求得直線AB的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，和弦長公式，化簡計算即可得到所求．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦點(diǎn)F₂為（1，0），
直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），
代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，可得5x²-4x-4=0，
x₁+x₂=$\frac{4}{5}$，x₁x₂=-$\frac{4}{5}$，
則弦長|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{16}{5}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．