Question

11．上饒某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為調(diào)查市民喜歡觀看體育節(jié)目是否與性別有關(guān)，隨機抽取了55名市民，得到數(shù)據(jù)如下表：

	喜歡	不喜歡	合計
男	20	5	25
女	10	20	30
合計	30	25	55

（1）判斷是否有99.5%的把握認為喜歡觀看體育節(jié)目與性別有關(guān)？
（2）用分層抽樣的方法從喜歡觀看體育節(jié)目的市民中隨機抽取6人作進一步調(diào)查，將這6位市民作為一個樣本，從中任選2人，求男市民人數(shù)ξ的分布列和期望．
下面的臨界值表參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）由公式求出K²，從而得到有99.5%的把握認為喜歡觀看體育節(jié)目與性別有關(guān)．
（2）設(shè)所抽樣本中有m個男市民，則$\frac{m}{20}=\frac{6}{30}$，得m=4人，所以樣本中有4個男市民，2個女市民，隨機變量ξ的所有取值情形：0、1、2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由公式${k}^{2}=\frac{55（20×20-10×5）^{2}}{30×25×25×30}$≈11.978＞7.879，
所以有99.5%的把握認為喜歡觀看體育節(jié)目與性別有關(guān)．（5分）
（2）設(shè)所抽樣本中有m個男市民，則$\frac{m}{20}=\frac{6}{30}$，得m=4人，（7分）
所以樣本中有4個男市民，2個女市民，隨機變量ξ的所有取值情形：0、1、2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$，（10分）
從而得到ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{6}{15}$

所以Eξ=$0×\frac{1}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{6}{15}$=$\frac{4}{3}$．（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要注意排列組合知識的合理運用．