Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且c²=a²+b²-ab．
（Ⅰ）若tanA-tanB=

3

3

（1+tanA•tanB），求角B；
（Ⅱ）設(shè)

m

=（sinA，1），

n

=（3，cos2A），試求

m

•

n

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（I）利用余弦定理、兩角和差的正切公式、正切函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（II）利用數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）∵c²=a²+b²-ab，∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

．
∵C∈（0，π），∴C=

π

3

．
∵tanA-tanB=

3

3

（1+tanA•tanB），∴tan（A-B）=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

3

3

，
∵A，B∈(0，

2π

3

)，∴-

2π

3

＜A-B＜

2π

3

，∴A-B=

π

6

．
∴B=

2π

3

-A=

2π

3

-(B+

π

6

)，解得B=

π

4

．
（2）

m

•

n

=3sinA+cos2A=-2sin²A+3sinA+1=-2(sinA-

3

4

)2+

17

8

，
由（I）可得A∈(0，

2π

3

)，∴當(dāng)sinA=

3

4

時(shí)，

m

•

n

取得最大值

17

8

．

點(diǎn)評：本題考查了余弦定理、兩角和差的正切公式、正切函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．