Question

如圖1，△ABC中，∠B=90°，AB=

2

，BC=1，D、E兩點分別是線段AB、AC的中點，現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二面角A-DE-B．

（Ⅰ）求證：面ADC⊥面ABE；
（Ⅱ）求直線AD與平面ABE所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出∠ADB為二面角A-DE-B平面角，AD⊥面BCD，從而AD⊥BE，由此能證明BE⊥面ADC，從而得到面ABE⊥面ADC．
（Ⅱ）連結(jié)BE交CD于H，連結(jié)AH，過點D作DO⊥AH于O．由已知條件推導出∠DAO為AD與平面ABE所成角．由此能求出直線AD與平面ABE所成角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）由∠B=90°，D、E兩點分別是線段AB、AC的中點，
得DE∥BC，DE⊥AD，DE⊥BD，
∴∠ADB為二面角A-DE-B平面角，∠ADB=

π

2

．
∴AD⊥面BCD，又∵BE?面BCD，∴AD⊥BE，
又BD=

2

2

，DE=

1

2

，BC=1，即

BD

DE

=

BC

BD

，
∴△BDE～△DBC，∴∠EBD=∠DCB，
∴BE⊥DC，∴BE⊥面ADC，
又BE?面ABE，∴面ABE⊥面ADC．
（Ⅱ）連結(jié)BE交CD于H，連結(jié)AH，
過點D作DO⊥AH于O．
∵AD⊥BE，BE⊥DH，
∴BE⊥面ADHDO?面ADH，∴BE⊥DO，
又DO⊥AH，∴DO⊥面ABE，
∴∠DAO為AD與平面ABE所成角．
Rt△BDE中，BD=

2

2

，DE=

1

2

∴DH=

BD•DE

BE

=

6

6

，
Rt△ADH中，tan∠DAO=

DH

DA

=

6

6

×

2

=

3

3

．
∴直線AD與平面ABE所成角的正切值為

3

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．