Question

13．已知點O是三角形ABC的邊BC靠近B的一個三等分點，過點O的直線交直線AB、AC分別于M、N；$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$，則$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$=3．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AM}，AN$表示出$\overrightarrow{AO}$，根據M，N，O三點共線得出結論．

解答 解：連接AO，∵$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{m}\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{n}\overrightarrow{AN}$，
∵$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{3m}\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{3n}\overrightarrow{AN}$，
∵M，O，N三點共線，
∴$\frac{2}{3m}+\frac{1}{3n}$=1，∴$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$=3．
故答案為3．

點評 本題考查了平面向量的幾何運算，平面向量的共線定理，屬于中檔題．