Question

如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，P，Q分別為AE，AB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）證明：平面ADE⊥平面ABE．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由中位線定理和公理4即可得到PQ∥CD，再由線面平行的判定定理，即可得證；
（Ⅱ）連接PD，CQ．證得四邊形PDCQ是平行四邊形，即有DP∥CQ，再由線面垂直的性質(zhì)和判定，證得CQ⊥平面ABE，即有DP⊥平面ABE，再由面面垂直的判定定理，即可得證．

解答： 證明：（Ⅰ）∵P，Q分別為AE，AB的中點(diǎn)，
∴PQ∥BE，
∵EB∥DC，∴PQ∥CD，
PQ?平面ACD，CD?平面ACD，
∴PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）連接PD，CQ．
則PQ∥CD，且PQ=CD，
即有四邊形PDCQ為平行四邊形，
∴DP∥CQ，
∵CD⊥平面ABC，EB∥DC，
∴EB⊥平面ABC，CQ?平面ABC，
∴EB⊥CQ，
又AC=BC，Q為AB的中點(diǎn)，∴CQ⊥AB，∴CQ⊥平面ABE，
∴DP⊥平面ABE，
DP?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ABE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系：平行和垂直，考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定定理，記熟這些定理，是迅速解題的關(guān)鍵．