Question

若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）解不等式：f（x-1）＜0；
（3）若f（2）=1，解不等式f（2^x+1）-f（2^3-2x）＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）問采用賦值法求出f（1）的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，解得即可
（3）問首先由f（2）=1分析出f（4）=2，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式．

解答： 解：（1）令x=y=1，則有f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）∵f（x-1）＜0=f（1），
又f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)
∴x-1＜1
解得0＜x＜2，
故不等式的解集為（0，2）
（3）令x=4，y=2，則有f（2）=f（4）-f（2）；
∴f（4）=2f（2）=2，
∵f（2^x+1）-f（2^3-2x）＜2．
∴f（2^x+1÷2^3-2x）＜f（4）．
∴f（2^3x-2）＜f（4）．
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴2^3x-2＜2²，
∴3x-2＜2，
解得0＜x＜

4

3

故不等式的解集為：（0，

4

3

）．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法，突出考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用與解不等式組的能力，屬于中檔題