Question

已知函數(shù)f（x）=

x

ax+b

（a，b為常數(shù)，且a≠0），滿足f（2）=1，方程f（x）=x有唯一實(shí)數(shù)解，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）判斷f（x）在（1，3）上的單調(diào)性，并證明．
（3）若f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件求出a，b的值即可求函數(shù)f（x）的解析式
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在（1，3）上的單調(diào)性．
（3）根據(jù)f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x

ax+b

且f（2）=1，
∴2=2a+b．
又∵方程f（x）=x有唯一實(shí)數(shù)解．
∴ax²+（b-1）x=0（a≠0）有唯一實(shí)數(shù)解．
故（b-1）²-4a×0=0，即b=1，又上式2a+b=2，可得：a=

1

2

，
從而f（x）=

x

1 2 x+1

=

2x

x+2

，
（2）f（x）在（1，3）上單調(diào)遞增，下面進(jìn)行證明：
設(shè)任意1＜x₁＜x₂＜3
則f(x1)-f(x2)=

2x1

x1+2

-

2x2

x2+2

=

2x1x2+4x1-2x1x2-4x2

(x1+2)(x2+2)

=

4(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

，
∵1＜x₁＜x₂＜3，
∴x₁-x₂＜0，（x₁+2）＞0，（x₂+2）＞0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，3）上單調(diào)遞增．
（3）由題（2）f（1）＜f（x）＜f（3）
又f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，
∴3a-1≤f(1)=

2

3

解得a≤

5

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題以及函數(shù)單調(diào)性的證明，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．