Question

5．已知某智能手機(jī)制作完成之后還需要依次通過(guò)三道嚴(yán)格的審核程序，已知第一道審核、第二道審核、第三道審核通過(guò)的概率分別為$\frac{6}{7}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{14}{15}$，每道程序是相互獨(dú)立的，且一旦審核不通過(guò)就停止審核，每部手機(jī)只有三道程序都通過(guò)才能出廠銷售．
（1）求審核過(guò)程中只進(jìn)行兩道程序就停止審核的概率；
（2）現(xiàn)有3部該智能手機(jī)進(jìn)入審核，記這3部手機(jī)可以出廠銷售的部數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）記審核過(guò)程中只進(jìn)行兩道程序就停止審核為事件A，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出事件A發(fā)生的概率．
（2）X的可能取值為0，1，2，3，一部手機(jī)通過(guò)三道審核可以出廠的概率為$\frac{2}{3}$，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （12分）
解：（1）記審核過(guò)程中只進(jìn)行兩道程序就停止審核為事件A，
事件A發(fā)生的概率$P（A）=\frac{6}{7}×（1-\frac{5}{6}）=\frac{1}{7}$．（4分）
（2）X的可能取值為0，1，2，3．
一部手機(jī)通過(guò)三道審核可以出廠的概率為$\frac{6}{7}×\frac{5}{6}×\frac{14}{15}=\frac{2}{3}$，（6分）
$P（X=0）=C_3^0{（1-\frac{2}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，
$P（X=1）=C_3^1{（1-\frac{2}{3}）^2}×\frac{2}{3}=\frac{6}{27}$，
$P（X=2）=C_3^2{（1-\frac{2}{3}）^1}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{12}{27}$，
$P（X=3）=C_3^3{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

（10分）
數(shù)學(xué)期望$E（X）=\frac{1×6+2×12+3×8}{27}=2$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、離散型隨機(jī)事件概率分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．