Question

7．設(shè)集合E={1，2，3，…，2n}，A={a₁，a₂，…，a_n}⊆E，滿足對(duì)任意a_i，a_j∈A，a_i+a_j≠2n+1．S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）求S_n的最值，并求出所有S_n相加所得的總和T_n
（2）n≥5時(shí)，將S_n的值從小到大排列，寫出前5個(gè)值對(duì)應(yīng)的集合A并說明理由
（3）$\frac{{a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}+…+{a}_{n}^{2}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{2（2n+1）}{3}$，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a₁=1，a₂=2，a₃=3，…，a_n=n時(shí)，取得最小，當(dāng)a₁=n+1，a₂=n+2，a₃=n+3，…，a_n=2n時(shí)，取得最大；由于1，2，3，…，2n均出現(xiàn)2^n-1次，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到；
（2）由（1）的結(jié)論，運(yùn)用條件，即可得到所求；
（3）求出n=1，2，3時(shí)a_n的值，猜想通項(xiàng)，再由求和公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（1）由題意可得a₁=1，a₂=2，a₃=3，…，a_n=n時(shí)，
S_n取得最小值，且為$\frac{n（n+1）}{2}$；
當(dāng)a₁=n+1，a₂=n+2，a₃=n+3，…，a_n=2n時(shí)，
S_n取得最大值，且為$\frac{n（3n+1）}{2}$；
由于1，2，3，…，2n均出現(xiàn)2^n-1次，
則T_n=2^n-1（1+2+3+…2n）=$\frac{2n（1+2n）}{2}$•2^n-1=n（1+2n）2^n-1；
（2）n≥5時(shí)，S_n的最小值為$\frac{n（n+1）}{2}$，接著為$\frac{n（n+1）}{2}$+1，$\frac{n（n+1）}{2}$+3，…，
$\frac{n（3n+1）}{2}$-1，$\frac{n（3n+1）}{2}$．
根據(jù)S_n的值從小到大排列，可得
S_n最小時(shí)，為A={1，2，…，n}，接著為A={1，2，…，n-1，n+1}，
{1，2，…，n+2，n}，{1，2，3，…，n+2，n+1}，{1，2，3，…，n-3，n+3，n-1，n}；
（3）n=1時(shí)，$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{a}_{1}}$=2，即a₁=2；
n=2時(shí)，$\frac{4+{{a}_{2}}^{2}}{2+{a}_{2}}$=$\frac{2×5}{3}$，解得a₂=4，
n=3時(shí)，$\frac{4+16+{{a}_{3}}^{2}}{2+4+{a}_{3}}$=$\frac{2×7}{3}$，解得a₃=6，
猜想a_n=2n，
由$\frac{4+16+…+4{n}^{2}}{2+4+..+2n}$=$\frac{4×\frac{1}{6}n（n+1）（2n+1）}{\frac{1}{2}n（2+2n）}$
=$\frac{2（2n+1）}{3}$．
故a_n=2n，S_n=2+4+6+…+2n=n（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合的包含關(guān)系，考查數(shù)列的求和，注意運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．