Question

3．已知函數(shù)f（x）是定義在[-e，0]∪（0，e]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-e，0）時，有f（x）=ax-ln（-x）（其中e為自然對數(shù)的底，a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）試問是否存在實數(shù)a，使得當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）的最大值是2？如果存在，求出實數(shù)a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x∈（0，-e]，則-x∈[-e，0），故f（-x）=-ax-ln（x），根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出此時的解析式，即可得到函數(shù)在定義域內(nèi)的解析式；
（2）假設(shè)存在實數(shù)a滿足條件，通過討論a的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，解出a的值即可．

解答 解：（1）當(dāng)x∈（0，e]時，-x∈[-e，0），
則f（-x）=a（-x）-lnx，
又f（x）是奇函數(shù)，故f（x）=-f（-x）=ax+lnx，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax-ln（-x），-e≤x＜0}\\{ax+lnx，0＜x≤e}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx，
f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$，
①當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（0，e]遞增，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值是f（e）=ae+1=2，
故a=$\frac{1}{e}$＞0滿足題意；
②當(dāng)-$\frac{1}{a}$≥e，即-$\frac{1}{e}$≤a＜0時，f′（x）=a+$\frac{1}{x}$≥-$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{x}$≥-$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{e}$=0，
故f（x）在（0，e]遞增，
此時f（x）在區(qū)間（0，e]的最大值是f（e）=ae+1=2，
則a=$\frac{1}{e}$＞0，不滿足條件=$\frac{1}{e}$≤a＜0；
③當(dāng)a＜-$\frac{1}{e}$時，可得f（x）在區(qū)間（0，-$\frac{1}{a}$]遞增，在區(qū)間[-$\frac{1}{a}$，e]遞減，
故x=-$\frac{1}{a}$時，f（x）_max=f（-$\frac{1}{a}$）=-1+ln（-$\frac{1}{a}$），
令f（-$\frac{1}{a}$）=2，得a=-$\frac{1}{{e}^{3}}$＞0$\frac{1}{e}$，不滿足條件，
綜上a=$\frac{1}{e}$時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值是2．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定函數(shù)的最小值，是解題的難點和關(guān)鍵．