Question

如圖，長(zhǎng)為6的線段PQ的端點(diǎn)分別在射線y=0（x≤0）和x=0（y≤0）上滑動(dòng)，點(diǎn)M在線段PQ上，且．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)M的軌跡與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，求四邊形OAMB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出定點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)：P（x₁，0），Q（0，y₁），以及動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y），根據(jù)向量關(guān)系式，解出用x、y表示x₁，y₁的式子，最后根據(jù)線段PQ長(zhǎng)為6建立關(guān)系式，再結(jié)合點(diǎn)P、Q分別在射線y=0（x≤0）和x=0（y≤0）上滑動(dòng)，可得點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）連接OM，將四邊形OAMB面積分成三角形OAM面積與三角形OBM面積的和．再進(jìn)行三角換元：設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（4cosα，
2sinα），其中4cosα≤0，2sinα≤0，可得S_△OAM=-4sinα且S_△OBM=-4cosα，所以四邊形OAMB面積S=-4（sinα+cosα），最后利用平方的方法，可以求得sinα+cosα的最小值為-，從而得到四邊形OAMB面積的最大值．
解答：解：（1）設(shè)P（x₁，0），Q（0，y₁），M（x，y），
其中x₁，y₁均為小于或等于0的數(shù)
∵，，
∴-x=2（x-x₁），y₁-y=2y
∴⇒
∵線段PQ長(zhǎng)為6，
∴x₁²+y₁²=36，得，
∵x₁，y₁均為小于或等于0的數(shù)
∴即為點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）連接OM，可得四邊形OAMB面積S=S_△OAM+S_△OBM
∵點(diǎn)M在橢圓弧上，
∴可設(shè)M（4cosα，2sinα），其中4cosα≤0，2sinα≤0，
∴S_△OAM=OA×|y_M|=-4sinα，S_△OBM=OB×|x_M|=-4cosα
∴四邊形OAMB面積S=-4（sinα+cosα），
∵（sinα+cosα）²=1+sin2α≤2，
∴≤（sinα+cosα）≤
∴當(dāng)且僅當(dāng)sinα=cosα=時(shí)，sinα+cosα的最小值為-
此時(shí)，四邊形OAMB面積S取得最大值4
點(diǎn)評(píng)：本題用動(dòng)點(diǎn)的軌跡與求多邊形面積為載體，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、三角函數(shù)的定義域和值域等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．