Question

1．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，
AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E為棱AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若 B₁C₁⊥平面CEC₁，求二面角B₁-CE-C₁的余弦值；
（Ⅱ）在線段C₁E上是否存在一點(diǎn)M，使得直線AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，若存在，求EM：MC₁的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)后，求出平面B₁CE和平面CEC₁的一個(gè)法向量，先求出兩法向量所成角的余弦值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出其正弦值，則二面角B₁-CE-C₁的正弦值可求；
（Ⅱ）利用共線向量基本定理把M的坐標(biāo)用E和C₁的坐標(biāo)及待求系數(shù)λ表示，求出平面ADD₁A₁的一個(gè)法向量，利用向量求線面角的公式求出直線AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值，求出λ的值即可求．

解答 解：（Ⅰ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
依題意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B₁（0，2，2），C₁（1，2，1），E（0，1，0）．
設(shè)平面B₁CE的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
可得$\overrightarrow{{B}_{1}C}=（1，-2，1）$，$\overrightarrow{CE}=（-1，1，-1）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=x-2y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-x+y-z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}=（-3，-2，1）$，
又B₁C₁⊥平面CEC₁，故$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=（1，0，-1）$為平面CEC₁的一個(gè)法向量，
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}|}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，sin$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}＞$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
所以二面角B₁-CE-C₁的正弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
（Ⅱ）可得$\overrightarrow{AE}=（0，1，0），\overrightarrow{E{C}_{1}}=（1，1，1）$．$\overrightarrow{AB}$=（0，0，2）為平面ADD₁A₁的一個(gè)法向量，
設(shè)$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{E{C}_{1}}=（λ，λ，λ），（0≤λ≤1）$，則$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EM}=（λ，λ+1，λ）$．
設(shè)θ為直線AM與平面ADD₁A₁所成的角，
則sinθ=cos$＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AB}＞$=$\frac{λ}{\sqrt{{λ}^{2}+（λ+1）^{2}+{λ}^{2}}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，得$λ=\frac{1}{3}$，
∴EM：MC₁=1：2．
∴在線段C₁E上存在一點(diǎn)M，使得直線AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，且EM：MC₁的值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了線面角和二面角的求法，運(yùn)用了空間向量法，運(yùn)用此法的關(guān)鍵是建立正確的空間坐標(biāo)系，再就是理解并掌握利用向量求線面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中檔題．