分析 (Ⅰ)根據(jù)拋物線的定義,可得a=4t,將P代入拋物線方程,求得at=4,代入即可求得a的值,求得拋物線ω的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)直線MN的方程為x=my+1,聯(lián)立方程組,表示出直線ND的方程,與拋物線ω的準(zhǔn)線方程構(gòu)成方程組,解得Q的坐標(biāo),求出直線MQ的斜率,得到直線MQ的方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
解答 解:(Ⅰ)由拋物線的定義可知丨PF丨=t+$\frac{a}{4}$=2t,則a=4t,
由點(diǎn)P(t,2)在拋物線上,則at=4,
∴a×$\frac{a}{4}$=4,則a2=16,
由a>0,則a=4,
∴拋物線的方程y2=4x;
(Ⅱ)證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
設(shè)直線MN的方程為x=my+1
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$,整理得:y2-4my-4=0,
由韋達(dá)定理可知:y1•y2=-4,
依題意,直線ND與x軸不垂直,∴x2=4.
∴直線ND的方程可表示為,y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$(x-4)①
∵拋物線ω的準(zhǔn)線方程為,x=-1②
由①,②聯(lián)立方程組可求得Q的坐標(biāo)為(-1,-$\frac{5{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$)
∴Q的坐標(biāo)可化為(-1,$\frac{5{y}_{1}}{1-{y}_{1}^{2}}$),
∴kMQ=$\frac{\frac{5{y}_{1}}{1-{y}_{1}^{2}}-{y}_{1}}{-1-{x}_{1}}$,
∴直線MQ的方程為y-y1=$\frac{4{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}-1}$(x-x1),
令y=0,可得x=x1-$\frac{{y}_{1}^{2}-1}{4}$=$\frac{1}{4}$,
∴直線MQ與x軸交于定點(diǎn)($\frac{1}{4}$,0).
點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查直線過定點(diǎn),考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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A. | 合情推理法 | B. | 綜合法 | C. | 間接證法 | D. | 分析法 |
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A. | 1個(gè) | B. | 2個(gè) | C. | 3個(gè) | D. | 4個(gè) |
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A. | [$\frac{14}{13}$,+∞) | B. | [$\frac{13}{12}$,+∞) | C. | [$\frac{15}{13}$,2) | D. | [$\frac{5}{4}$,2) |
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A. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B. | -$\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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x | -$\frac{π}{6}$ | $\frac{π}{3}$ | $\frac{5π}{6}$ | $\frac{4π}{3}$ | $\frac{11π}{6}$ | $\frac{7π}{3}$ | $\frac{17π}{6}$ |
f(x) | -1 | 1 | 3 | 1 | -1 | 1 | 3 |
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