15.已知拋物線ω:y2=ax(a>0)上一點(diǎn),P(t,2)到焦點(diǎn)F的距離為2t
(Ⅰ)求拋物線ω的方程
(Ⅱ)如圖已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,0),過拋物線ω的焦點(diǎn)F的直線交拋物線ω于M,N兩點(diǎn),若過D和N兩點(diǎn)的直線交拋物線ω的準(zhǔn)線于Q點(diǎn),求證:直線MQ與x軸交于一定點(diǎn).

分析 (Ⅰ)根據(jù)拋物線的定義,可得a=4t,將P代入拋物線方程,求得at=4,代入即可求得a的值,求得拋物線ω的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)直線MN的方程為x=my+1,聯(lián)立方程組,表示出直線ND的方程,與拋物線ω的準(zhǔn)線方程構(gòu)成方程組,解得Q的坐標(biāo),求出直線MQ的斜率,得到直線MQ的方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

解答 解:(Ⅰ)由拋物線的定義可知丨PF丨=t+$\frac{a}{4}$=2t,則a=4t,
由點(diǎn)P(t,2)在拋物線上,則at=4,
∴a×$\frac{a}{4}$=4,則a2=16,
由a>0,則a=4,
∴拋物線的方程y2=4x;
(Ⅱ)證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
設(shè)直線MN的方程為x=my+1
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$,整理得:y2-4my-4=0,
由韋達(dá)定理可知:y1•y2=-4,
依題意,直線ND與x軸不垂直,∴x2=4.
∴直線ND的方程可表示為,y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$(x-4)①
∵拋物線ω的準(zhǔn)線方程為,x=-1②
由①,②聯(lián)立方程組可求得Q的坐標(biāo)為(-1,-$\frac{5{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$)
∴Q的坐標(biāo)可化為(-1,$\frac{5{y}_{1}}{1-{y}_{1}^{2}}$),
∴kMQ=$\frac{\frac{5{y}_{1}}{1-{y}_{1}^{2}}-{y}_{1}}{-1-{x}_{1}}$,
∴直線MQ的方程為y-y1=$\frac{4{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}-1}$(x-x1),
令y=0,可得x=x1-$\frac{{y}_{1}^{2}-1}{4}$=$\frac{1}{4}$,
∴直線MQ與x軸交于定點(diǎn)($\frac{1}{4}$,0).

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查直線過定點(diǎn),考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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