Question

9．給出下列四個(gè)命題：
①y=2+x³sin（x+$\frac{5π}{2}$）在區(qū)間[-10π，10π]上的最大值與最小值之和是6；
②函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{2x+1}$（x≠-$\frac{1}{2}$）的對(duì)稱中心是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）；
③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
④已知函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為偶函數(shù)，其圖象與直線y=2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值為π，則ω=2，φ=$\frac{π}{2}$
所有正確命題的序號(hào)是④．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性，求出函數(shù)的最大值與最小值之和可判斷①；利用分享常數(shù)法及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)正棱錐的幾何特征，可判斷③；根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷④．

解答 解：①y=2+x³sin（x+$\frac{5π}{2}$）=2+x³cosx，∵y=x³cosx為奇函數(shù)，最大值與最小值之和為0，故y=2+x³sin（x+$\frac{5π}{2}$）=2+x³cosx最大值與最小值之和是4，故①錯(cuò)誤；
②函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{2x+1}$=$\frac{（x+\frac{1}{2}）-\frac{3}{2}}{2（x+\frac{1}{2}）}$=$\frac{-\frac{3}{4}}{x+\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$，其圖象由y=$\frac{-\frac{3}{4}}{x}$的圖象向左平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位，再向上平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位個(gè)單位得到，由y=$\frac{-\frac{3}{4}}{x}$的對(duì)稱中心是原點(diǎn)，故函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{2x+1}$（x≠-$\frac{1}{2}$）的對(duì)稱中心是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），故②錯(cuò)誤；
③底面是等邊三角形，側(cè)面有兩個(gè)面是以底面的棱為腰長的等腰三角形且不是等邊三角形的三棱錐，不是正三棱錐，故③錯(cuò)誤；
④函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）圖象與直線y=2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值為π，則函數(shù)的周期為π，則ω=2，
又由函數(shù)為偶函數(shù)，即sinφ=1，或sinφ=-1，故φ=$\frac{π}{2}$，故④正確；
故正確命題的序號(hào)是④；
故答案為：④

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的奇偶性，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，棱錐的幾何特征，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．