Question

15．設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在x軸上，上頂點(diǎn)為 A（0，2），離心率為$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
（I）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè) B₁（-2，0），B₂（2，0），過 B₁作直線l交橢圓于 P，Q兩點(diǎn)，使PB₂⊥QB₂，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)題意設(shè)出橢圓方程，b=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（II）設(shè)出直線方程及點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)，并代入橢圓方程，求得關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理求得y₁+y₂和y₁•y₂的表達(dá)式，表示出向量$\overrightarrow{{B}_{2}P}$及$\overrightarrow{{B}_{2}Q}$，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求得$\overrightarrow{{B}_{2}P}$•$\overrightarrow{{B}_{2}Q}$的值，由PB₂⊥QB₂，即$\overrightarrow{{B}_{2}P}$•$\overrightarrow{{B}_{2}Q}$=0，求得m值，寫出直線方程．

解答 解：（I）設(shè)所給橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{4}{5}$，即$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{5}$，
又∵b²=4，
∴a²=20，
∴$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}=1$
（II）由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為：x=my-2．
代入橢圓方程得（m²+5）y²-4my-16=0，設(shè) P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則${y_1}+{y_2}=\frac{4m}{{{m^2}+5}}$，${y_1}•{y_2}=-\frac{16}{{{m^2}+5}}$，
又$\overrightarrow{{{B}_2}{P}}=（{{x_1}-2，{y_1}}）$，$\overrightarrow{{{B}_2}Q}=（{{x_2}-2，{y_2}}）$，
所以$\overrightarrow{{{B}_2}{P}}•\overrightarrow{{{B}_2}Q}=（{{x_1}-2}）（{{x_2}-2}）+{y_1}{y_2}=（{m{y_1}-4}）（{m{y_2}-4}）+{y_1}{y_2}=（{{m^2}+1}）{y_1}{y_2}-4m（{{y_1}+{y_2}}）+16$，
=$-\frac{{16（{{m^2}+1}）}}{{{m^2}+5}}-\frac{{16{m^2}}}{{{m^2}+5}}+16=-\frac{{16{m^2}-64}}{{{m^2}+5}}$，
由 P B₂⊥Q B₂得$\overrightarrow{{{B}_2}{P}}•\overrightarrow{{{B}_2}Q}=0$，即16m²-64=0
解得m=±2，
∴直線l的方程為x=±2y-2，即x±2y+2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．