Question

5．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=a處取得極小值，則a的取值范圍是（　�。�

• A． -1≤a＜0
• B． a＞0或a≤-1
• C． -1＜a＜0
• D． a＞0或a＜-1

Answer 1

分析 由已知得f′（x）=a（x+1）（x-a），令f′（x）=0，求出可能的極值點，由f（x）的單調(diào)性，判斷在x=a處是否取得極小值，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由f′（x）=a（x+1）（x-a）=0，
解得a=0或x=-1或x=a，
①若a=0，則f′（x）=0，此時函數(shù)f（x）為常數(shù)，沒有極值，故a≠0．
②若a=-1，則f′（x）=-（x+1）²≤0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，沒有極值，故a≠-1．
③若a＜-1，當(dāng)f′（x）＞0，解得：a＜x＜-1，即函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間（a，-1），
當(dāng)f′（x）＜0，解得：x＜a或x＞-1，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間（-∞，a），（-1，+∞），即函數(shù)在x=a處取到極小值，滿足條件．
④若-1＜a＜0，當(dāng)f′（x）＞0，解得-1＜x＜a，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間（-1，a），
當(dāng)f′（x）＜0，解得：x＜-1或x＞a，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間（-∞，-1），（a，+∞），即函數(shù)在x=a處取到極大值，不滿足條件．
⑤若a＞0，當(dāng)f′（x）＞0，解得：x＜-1或x＞a，函數(shù)單調(diào)遞增（-∞，-1），（a，+∞），
當(dāng)f′（x）＜0，解得：-1＜x＜a，解得函數(shù)單調(diào)遞減（-1，a），即函數(shù)在x=a處取到極小值，滿足條件．
綜上：a＜-1或a＞0，
故答案選：D．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．