Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$cos²$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）=-$\frac{6}{13}$，x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，求cosx的值；
（3）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位，使平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若0＜m＜π，試求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正弦公式花簡(jiǎn)f（x）的解析式為f（x）=$\frac{1}{2}$sin（x-$\frac{π}{6}$），由周期公式即可得解．
（2）由題意，先求sin（x-$\frac{π}{6}$），cos（x-$\frac{π}{6}$）的值，利用cosx=cos[（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]即可得解．
（3）把它的圖象向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=$\frac{1}{2}$sin（x-m-$\frac{π}{6}$），是奇函數(shù)，由此求得m的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$cos²$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx-$\frac{1+cosx}{4}$+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）
=$\frac{1}{2}$sin（x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）∵x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∵f（x）=$\frac{1}{2}$sin（x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{6}{13}$，
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{12}{13}$，x-$\frac{π}{6}$∈（π，$\frac{4π}{3}$]，
∴cos（x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{5}{13}$，
∴cosx=cos[（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（x-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（x-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=（-$\frac{5}{13}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{12}{13}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{12-5\sqrt{3}}{26}$．
（3）把f（x）的圖象向右平移m（0＜m＜π）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=$\frac{1}{2}$sin（x-m-$\frac{π}{6}$），
由題意可得y=$\frac{1}{2}$sin（x-m-$\frac{π}{6}$） 為奇函數(shù)，故m=$\frac{5π}{6}$，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)求值，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．