Question

17．已知a＞0，設函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$，x∈[0，1]函數(shù)g（x）=ax+5-2a，x∈[0，1]．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域M和函數(shù)g（x）的值域N
（Ⅱ）若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可考慮分子分母同除以x²，從而討論x：x=0時，得到f（x）=0；x≠0時，可得到$f（x）=\frac{1}{（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$，這樣根據(jù)x∈（0，1]便可求出$\frac{1}{x}$的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性從而得到$（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$的范圍，從而得出f（x）的范圍，即f（x）的值域M=$[0，\frac{1}{2}]$．對于g（x），由a＞0便得到一次函數(shù)g（x）為增函數(shù)，從而可以得出g（x）的值域N為：[5-2a，5-a]；
（Ⅱ）首先根據(jù)題意知道f（x）的值域M是g（x）的值域N的子集，從而解不等式組$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{5-2a≤0}\\{5-a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$即可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）（1）求f（x）的值域：①若x=0，f（x）=0；
②若x≠0，則f（x）=$\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}}=\frac{1}{（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$；
0＜x≤1；
∴$\frac{1}{x}≥1$；
∴$（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}≥（1+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}=2$；
∴$0＜\frac{1}{（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}≤\frac{1}{2}$；
∴f（x）的值域M=$[0，\frac{1}{2}]$；
（2）求g（x）的值域：①a=0時，g（x）=5；
∴N={5}；
∵a＞0，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增；
∴g（0）≤g（x）≤g（1）；
即5-2a≤g（x）≤5-a；
∴N=[5-2a，5-a]；
（Ⅱ）根據(jù)題意知，M⊆N；
∵a＞0，N=[5-2a，5-a]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{5-2a≤0}\\{5-a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
解得$\frac{5}{2}≤a≤\frac{9}{2}$；
∴實數(shù)a的取值范圍為$[\frac{5}{2}，\frac{9}{2}]$．

點評 考查函數(shù)值域的概念，配方法求二次函數(shù)的值域，不等式性質的應用，以及一次函數(shù)的單調(diào)性，子集的概念，對于f（x）的值域不要漏了x=0的函數(shù)值．