Question

16．菱形ABCD中，∠BAD=60°，點E滿足$\overrightarrow{DE}$=2$\overrightarrow{EC}$，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=$\frac{17}{2}$，則該菱形的面積為（　�。�

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
• C． 6
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 將$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$用菱形的各邊對應的向量表示，展開得到關于菱形邊長的等式，求出菱形邊長，得到所求面積．

解答 解：由已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，點E滿足$\overrightarrow{DE}$=2$\overrightarrow{EC}$，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=$\frac{17}{2}$，設菱形邊長為3x，
所以$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$）=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CE}$+$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CE}$=9x²-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+3x²-2x²=$\frac{17}{2}{x}^{2}$=$\frac{17}{2}$，解得x=1，
所以菱形的邊長為3，
所以菱形的面積為$3×3×sin60°=\frac{9\sqrt{3}}{2}$；
故選B．

點評 本題考查了平面向量的三角形法則以及數(shù)量積公式的運用；關鍵是將已知的數(shù)量積等式轉化為關于菱形邊長的等式，利用數(shù)量積公式求出菱形邊長．