Question

已知向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosx，sinx），f（x）=

m

•

n

（Ⅰ）若cosθ=

3

5

，0＜θ＜

π

2

，求f（θ）；
（Ⅱ）若1≤f（θ）≤

3

，θ∈[0，π]，求θ的取范圍；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，求函數(shù)F（θ）=

f(θ)

f( π 2 +θ)

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）先根據(jù)題意求得函數(shù)解析式，根據(jù)cosθ的值求得sinθ代入函數(shù)解析式．
（Ⅱ）利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，進(jìn)而根據(jù)f（θ）的范圍確定sin（θ-

π

6

）進(jìn)而確定θ的范圍．
（Ⅲ）根據(jù)f（θ）的表達(dá)式對數(shù)F（θ）進(jìn)而化簡，根據(jù)θ的范圍確定tan（θ-

π

6

）的范圍，進(jìn)而確定F（θ）的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

=-cosx+

3

sinx，
∵cosθ=

3

5

，0＜θ＜

π

2

，
∴sinθ=

4

5

，
∴f（θ）=-

3

5

+

3

×

4

5

=

4 3 -3

5

．
（Ⅱ）f（x）=-cosx+

3

sinx=2sin（x-

π

6

），
∵1≤f（θ）≤

3

，
∴1≤2sin（θ-

π

6

）≤

3

，
∴

1

2

≤sin（θ-

π

6

）≤

3

2

，
∵θ∈[0，π]，
∴θ-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴

π

6

≤θ-

π

6

≤

π

3

或

2π

3

≤θ-

π

6

≤

5π

6

，
∴

π

3

≤θ≤

π

2

或

5π

6

≤θ≤π．
（Ⅲ）F（θ）=

f(θ)

f( π 2 +θ)

=

2sin(θ- π 6 )

2sin( π 2 +θ- π 6 )

=

sin(θ- π 6 )

cos(θ- π 6 )

=tan（θ-

π

6

），
由（Ⅱ）知，

π

3

≤θ≤

π

2

或

5π

6

≤θ≤π，
∴

3

3

≤tan（θ-

π

6

）≤

3

或-

3

≤tan（θ-

π

6

）≤-

3

3

．
即F（θ）的值域是[

3

3

，

3

]∪[-

3

，-

3

3

]．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．綜合考查了學(xué)生推理和運(yùn)算的能力．