18.(1)已知x<0,求函數(shù)$y=\frac{{{x^2}+x+1}}{x}$的最大值
(2)設x>-1,求函數(shù)$y=\frac{{({x+5})({x+2})}}{x+1}$的最小值.

分析 由題意整體變形,湊出可用基本不等式的形式,由基本不等式可得.

解答 解:(1)∵x<0,∴$y=\frac{{{x^2}+x+1}}{x}=x+\frac{1}{x}+1=-(-x-\frac{1}{x})+1≤-2\sqrt{(-x)×(-\frac{1}{x})}+1=-1$,
當且僅當-x=$\frac{1}{-x}$即x=-1時取得等號,∴函數(shù)的最大值為-1;
(2)∵x>-1,∴x+1>0,∴$\begin{array}{l}y=\frac{{({x+5})({x+2})}}{x+1}=\frac{{[{({x+1})+4}][{({x+1})+1}]}}{x+1}=\frac{{{{({x+1})}^2}+5({x+1})+4}}{x+1}=({x+1})+\frac{4}{x+1}+5≥2\sqrt{4}+5=9\end{array}$,
當且僅當x+1=$\frac{4}{x+1}$即x=1時,上式取“=”,∴y最小值為9.

點評 本題考查基本不等式求最值,整體湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關鍵,屬基礎題.

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