Question

18．（1）已知x＜0，求函數(shù)$y=\frac{{{x^2}+x+1}}{x}$的最大值
（2）設(shè)x＞-1，求函數(shù)$y=\frac{{（{x+5}）（{x+2}）}}{x+1}$的最小值．

Answer 1

分析 由題意整體變形，湊出可用基本不等式的形式，由基本不等式可得．

解答 解：（1）∵x＜0，∴$y=\frac{{{x^2}+x+1}}{x}=x+\frac{1}{x}+1=-（-x-\frac{1}{x}）+1≤-2\sqrt{（-x）×（-\frac{1}{x}）}+1=-1$，
當且僅當-x=$\frac{1}{-x}$即x=-1時取得等號，∴函數(shù)的最大值為-1；
（2）∵x＞-1，∴x+1＞0，∴$\begin{array}{l}y=\frac{{（{x+5}）（{x+2}）}}{x+1}=\frac{{[{（{x+1}）+4}][{（{x+1}）+1}]}}{x+1}=\frac{{{{（{x+1}）}^2}+5（{x+1}）+4}}{x+1}=（{x+1}）+\frac{4}{x+1}+5≥2\sqrt{4}+5=9\end{array}$，
當且僅當x+1=$\frac{4}{x+1}$即x=1時，上式取“=”，∴y最小值為9．

點評 本題考查基本不等式求最值，整體湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．