Question

3．定義max{a，b}表示實數a，b中的較大的數．已知數列{a_n}滿足a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1，}2\}}{{a}_{n}}$（n∈N），若a₂₀₁₅=4a，記數列{a_n}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₅的值為7254．

Answer 1

分析 當0＜a＜2時，利用遞推公式分別求出數列的前8項，得到數列{a_n}是以5為周期的周期數列，a₂₀₁₅=a₅=4=4a，解得a=1，求出S₂₀₁₅的值；當a≥2時，利用遞推公式分別求出數列的前8項，得到數列{a_n}是以5為周期的周期數列，a₂₀₁₅=a₅=2a=4a，解得a=0，不合題意．

解答 解：當0＜a＜2時，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，
a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1，}2\}}{{a}_{n}}$（n∈N），
∴a₃=$\frac{1}{a}$•2max{1，2}=$\frac{4}{a}$＞2，
a₄=2max{$\frac{4}{a}$，2}=$\frac{8}{a}$，
a₅=$\frac{a}{4}$•2max{$\frac{8}{a}$，2}=4，
a₆=$\frac{a}{8}$•2max{4，2}=a，
a₇=$\frac{1}{4}$•2max{a，2}=1，
a₈=$\frac{1}{a}$•2max{1，2}=$\frac{4}{a}$，
…
∴數列{a_n}是以5為周期的周期數列，
∵2015=403×5，
∴a₂₀₁₅=a₅=4=4a，
解得a=1，
∴S₂₀₁₅=403（a+1+$\frac{4}{a}+\frac{8}{a}+4$）=403（1+1+4+8+4）=7254；
當a≥2時，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，
a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1，}2\}}{{a}_{n}}$（n∈N），
∴a₃=$\frac{1}{a}$•2max{1，2}=$\frac{4}{a}$＜2，
a₄=2max{$\frac{4}{a}$，2}=4，
a₅=$\frac{a}{4}$•2max{4，2}=2a≥4，
a₆=$\frac{1}{4}$•2max{2a，2}=a＞2，
a₇=$\frac{1}{2a}$•2max{a，2}=1，
a₈=$\frac{1}{a}$•2max{1，2}=$\frac{4}{a}$，
…
∴數列{a_n}是以5為周期的周期數列，
∵2015=403×5，
∴a₂₀₁₅=a₅=2a=4a，解得a=0，不合題意．
故答案為：7254．

點評 本題考查數列的遞推式，考查了數列的函數特性，訓練了數列前n項和的求法，關鍵是注意遞推公式和周期數列的合理運用，是中檔題．