【題目】設(shè)f（n）=（1+ ）n﹣n，其中n為正整數(shù)．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）猜想滿足不等式f（n）＜0的正整數(shù)n的范圍，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

【答案】
（1）解：∵f（n）=（1+ ）n﹣n，

∴f（1）=1，f（2）= ﹣2= ，f（3）= ﹣3= ﹣3=﹣


（2）解：猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，

證明：①當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=﹣ ＜0成立，

②假設(shè)當(dāng)n=k（n≥3，n∈N+）時(shí)猜想正確，即f（k）= ﹣k＜0，

∴ ＜k，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

由于f（k+1）= = （1+ ）＜ （1+ ）

＜k（1+ ）=k+ ＜k+1，…（8分）

∴ ＜k+1，即f（k+1）= ﹣（k+1）＜0成立，

由①②可知，對(duì)n≥3，f（n）=（n）=（1+ ）n﹣n＜0成立


【解析】（1）由f（n）=（1+ ）n﹣n，可求得f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可：①當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=﹣ ＜0成立；②假設(shè)當(dāng)n=k（n≥3，n∈N+）時(shí)猜想正確，即 ﹣k＜0，去證明當(dāng)n=k+1（n≥3，n∈N+）時(shí)，f（k+1）= ﹣（k+1）＜0也成立即可．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線的方程；
（2）從圓C外一點(diǎn)P（x1 ， y1）向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)y=f（x）在[﹣3，3]上是奇函數(shù)，且對(duì)任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，f（1）=﹣2：
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）求不等式f（x﹣1）＞4的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A（2，2），B（3，4），C（m，0），△ABC的面積為5．
（1）求m的值；
（2）若m＞0，∠BAC的平分線交線段BC于D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義：在數(shù)列{an}中，若an2﹣an﹣12=p，（n≥2，n∈N* ， p為常數(shù)），則稱{an}為“等方差數(shù)列”，下列是對(duì)“等方差數(shù)列”的有關(guān)判斷：
①若{an}是“等方差數(shù)列”，則數(shù)列{ }是等差數(shù)列；
②{（﹣2）n}是“等方差數(shù)列”；
③若{an}是“等方差數(shù)列”，則數(shù)列{akn}（k∈N* ， k為常數(shù)）也是“等方差數(shù)列”；
④若{an}既是“等方差數(shù)列”，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)數(shù)列．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)．

（1）求證：平面B1MN⊥平面BB1D1D；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在DD1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否都有MN∥平面A1C1P，證明你的結(jié)論；
（3）若P是D1D的中點(diǎn)，試判斷PB與平面B1MN是否垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知△ABC三邊所在直線方程：lAB：3x﹣2y+6=0，lAC：2x+3y﹣22=0，lBC：3x+4y﹣m=0（m∈R，m≠30）．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）當(dāng)BC邊上的高為1時(shí)，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ ，g（x）=﹣x﹣ln（﹣x）其中a≠0，
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值及g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意的x1∈[1，2]，x2∈[﹣3，﹣2]使得f（x1）≥g（x2）恒成立，且﹣2＜a＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的部分圖象如圖所示，將y=f（x）的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C滿足2sin2 =g（C+ ）+1，且其外接圓的半徑R=2，求△ABC的面積的最大值．

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