Question

13．已知圓O：x²+y²=4，點(diǎn)M（1，0）圓內(nèi)定點(diǎn)，過(guò)M作兩條互相垂直的直線與圓O交于AB、CD，則弦長(zhǎng)AC的取值范圍[$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出AC的中點(diǎn)的軌跡方程，求出AC的最大值與最小值，即可得出它的取值范圍．

解答 解：設(shè)AC的中點(diǎn)為P（x，y），則OP⊥AC，|PA|=|PM|
∴$\sqrt{4-{x}^{2}-{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
∴$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}$=$\frac{7}{4}$，
∴|PM|_max=$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$，∴|PM|_min=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$，∴|AC|_max=$\sqrt{7}$+1，|AC|_min=$\sqrt{7}$-1，
故答案為：[$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了弦長(zhǎng)AC的取值范圍，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．