Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的方程為y=-1，過(guò)點(diǎn)A（0，1）且與直線l相切的動(dòng)圓的圓心為點(diǎn)M，記點(diǎn)M得軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+1與曲線E相交于B，C兩點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷D，O，C三點(diǎn)是否共線？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義，或利用|MF|=|y+1|，即可求曲線E的方程；
（Ⅱ）由直線y=kx+1與曲線E消去y，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，即可證明D，O，C三點(diǎn)共線．

解答： 解：（Ⅰ）解法1：由題意，點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離等于它到直線l的距離，
故點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線．…（2分）
∴曲線E的方程為x²=4y．…（4分）
解法2：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），依題意，得|MF|=|y+1|，
即

x2+(y-1)2

=|y+1|，…（2分）
化簡(jiǎn)得x²=4y．
∴曲線E的方程為x²=4y．…（4分）
（Ⅱ）答：D，O，C三點(diǎn)共線．…（5分）
證明：設(shè)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（6分）
依題意得，

x

2 1

=4y1，

x

2 2

=4y2．…（7分）
由直線y=kx+1與曲線E消去y得x²-4kx-4=0，…（9分）
解得x1，2=

4k±4 k2+1

2

=2k±2

k2+1

．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．…（11分）
∴直線OC的斜率kOC=

y2

x2

=

x 2 2 4

x2

=

x2

4

，…（12分）
直線OD的斜率kOD=

-1

x1

=

x2

4

，…（13分）
∴k_OC=k_OD，故D，O，C三點(diǎn)共線．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度中等．