Question

20．P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的上一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是圓（x-3）²+y²=1和（x+3）²+y²=4上的動點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最大值為13．

Answer 1

分析 圓外一點(diǎn)P到圓上所有點(diǎn)中距離最大值為|PC|+r，最小值為|PC|-r，其中C為圓心，r為半徑，故只要連結(jié)橢圓上的點(diǎn)P與兩圓心M，N，直線PM，PN與兩圓各交于兩處取得最值，最大值為|PM|+|PN|+兩圓半徑之和．

解答 解：∵圓（x-3）²+y²=1和（x+3）²+y²=4上的動點(diǎn)，兩個(gè)圓的圓心（-3，0），（3，0）
兩圓圓心F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）恰好是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點(diǎn)，
∴|PF₁|+|PF₂|=10，兩圓半徑r=1，R=2，
∴（|PM|+|PN|）_max=|PF₁|+|PF₂|+r+R=10+1+2=13．
故答案為：13．

點(diǎn)評 本題考查線段和的最大值的求法，解題時(shí)要注意橢圓的定義和圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．