Question

11．以下四個(gè)命題：
①設(shè)回歸直線方程$\widehat{y}$=0.2x+12，則 x每增加一個(gè)單位時(shí)，$\widehat{y}$平均減少0.2個(gè)單位；
②在極坐標(biāo)系中，圓ρ=cosθ與直線ρcosθ=1相切；
③假設(shè)一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.8；
④若△ABC三邊為a，b，c，面積為S，內(nèi)切圓的半徑r=$\frac{2S}{a+b+c}$，則由類比推理知四面體ABCD的內(nèi)切球半徑R=$\frac{3V}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}+{S}_{4}}$（其中，V為四面體的體積，為S₁，S₂，S₃，S₄四個(gè)面的面積）；
其中真命題的序號為②③④．

Answer 1

分析 ①設(shè)回歸直線方程$\widehat{y}$=0.2x+12，利用回歸方程系數(shù)的意義進(jìn)行判斷；
②直線ρcosθ=1即 x=1．圓ρ=cosθ 即ρ²=ρcosθ，即x²+y²=x，利用圓心到直線的距離為 d=$\frac{1}{2}$=r，進(jìn)行判斷；
③設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為p，則有題意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8；
④利用等體積進(jìn)行推導(dǎo)即可．

解答 解：①設(shè)回歸直線方程$\widehat{y}$=0.2x+12，則 x每增加一個(gè)單位時(shí)，$\widehat{y}$平均增加0.2個(gè)單位，故錯(cuò)誤；
②直線ρcosθ=1即 x=1．圓ρ=cosθ 即ρ²=ρcosθ，即x²+y²=x，
即（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$，表示以（$\frac{1}{2}$，0）為圓心，半徑等于$\frac{1}{2}$的圓．
圓心到直線的距離為 d=$\frac{1}{2}$=r，故直線和圓相切，正確；
③設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為p，則由題意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，正確；
④設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，

所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，
分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和．
則四面體的體積為V_{四面體A-BCD}=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）•R，
∴R=$\frac{3V}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}+{S}_{4}}$（其中，V為四面體的體積，為S₁，S₂，S₃，S₄四個(gè)面的面積），正確．
故真命題的序號為②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查類比推理與線性相關(guān)關(guān)系的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．