已知圓心為F1的圓的方程為（x+2）2+y2=32，F(xiàn)2（2，0），C是圓F1上的動點，F(xiàn)2C的垂直平分線交F1C于M．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）設(shè)N（0，2），過點P（-1，-2）作直線l，交M的軌跡于不同于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，證明：k1+k2為定值．
（1）∵F2C的垂直平分線交F1C于M，
∴|MF1|=|MC|．
∵|F1C|=4
2
，
∴|MF1|+|MC|=4
2
，
∴|MF1|+|MF2|=4
2
，
∴點M的軌跡是以F1、F2為焦點，以4
2
為長軸長的橢圓．
由c=2，a=2
2
，得b2=a2-c2=8-4=4．
故曲線C的方程為
x2
8
+
y2
4
=1；
（2）證明：當直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y+2=k（x+1），
與橢圓方程聯(lián)立，可得（1+2k2）x2+4k（k-2）x+2k2-8k=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-
4k(k-2)
1+2k2
，x1x2=
2k2-8k
1+2k2
．
從而kl+k2=
y1-2
x1
+
y2-2
x2
=2k-（k-4）•
4k(k-2)
2k2-8k
=4．
當直線l的斜率不存在時，得A（-1，
14
2
），B（-1，-
14
2
），
得kl+k2═4．
綜上，恒有kl+k2=4，為定值．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l1過A（0，1），與直線x=-2相交于點P（-2，y0），直線l2過B（0，-1）與x相交于Q（x0，0），x0、y0滿足y0-
x0
2
=1，l1∩l2=M．
（Ⅰ）求直線l1的方程（方程中含有y0）；
（Ⅱ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過C左焦點F1的直線l與C相交于點A、B，F(xiàn)2為C的右焦點，求△ABF2面積最大時點F2到直線l的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

直線y=2x+1與橢圓
x2
4
+
y2
16
=1的位置關(guān)系是（　�。�
A．相交B．相切C．相離D．不確定

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設(shè)點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

斜率為1，過拋物線y=
1
4
x2的焦點的直線截拋物線所得的弦長為（　�。�
A．8B．6C．4D．10

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線方程y2=4x，過點P（1，2）的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（　　）
A．0條B．1條C．2條D．3條

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l：y=x+m與拋物線y2=8x交于A、B兩點，
（1）若|AB|=10，求m的值；
（2）若OA⊥OB，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)和半圓x2+y2=b2（y≤0）組成曲線C，其中a＞b＞0；如圖，半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)內(nèi)切于矩形ABCD，且CD交y軸于點G，點P是半圓x2+y2=b2（y≤0）上異于A，B的任意一點，當點P位于點M(
6
3
，-
3
3
)時，△AGP的面積最大．
（1）求曲線C的方程；
（2）連PC、PD交AB分別于點E、F，求證：AE2+BF2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________．

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同步練習冊答案