Question

5．已知x∈（0，2），關于x的不等式$\frac{x}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{k+2x-{x}^{2}}$恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A． [0，e+1）
• B． [0，2e-1）
• C． [0，e）
• D． [0，e-1）

Answer 1

分析 根據(jù)題意顯然可知k≥0，整理不等式得出k＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x，利用構造函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x，通過導函數(shù)得出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調性，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：依題意，k+2x-x²＞0，即k＞x²-2x對任意x∈（0，2）都成立，
∴k≥0，
∵$\frac{x}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{k+2x-{x}^{2}}$，
∴k＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x，
令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x，f'（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$+2（x-1）=（x-1）（$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$+2），
令f'（x）=0，解得x=1，
當x∈（1，2）時，f'（x）＞0，函數(shù)遞增，
當x∈（0，1）時，f'（x）＜0，函數(shù)遞減，
∴f（x）的最小值為f（1）=e-1，
∴0≤k＜e-1，
故選：D．

點評 考查了構造函數(shù)，利用導函數(shù)求函數(shù)的單調性和函數(shù)的最值．