Question

1．已知{a_n}是等差數(shù)列，滿足a₁=2，a₄=14，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₄=6，且{a_n-b_n}是等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若?n∈N^*，都有b_n≤b_k成立，求正整數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出數(shù)列{a_n}的通項公式，求出{a_n-b_n}的首項和第四項，得到其公比，進一步求其通項公式，則{b_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）由題意，b_k應為數(shù)列{b_n}的最大項．然后求出$_{n+1}-_{n}=4n-{2}^{n-1}$，再對n分類討論求得滿足b_n≤b_k成立的正整數(shù)k的值．

解答 解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，則$d=\frac{{{a_4}-{a_1}}}{3}=4$，
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2，
故{a_n}的通項公式為a_n=4n-2（n∈N^*）．
設c_n=a_n-b_n，則{c_n}為等比數(shù)列．
c₁=a₁-b₁=2-1=1，c₄=a₄-b₄=14-6=8，
設{c_n}的公比為q，則${q^3}=\frac{c_4}{c_1}=8$，故q=2．
則${c_n}={2^{n-1}}$，即${a_n}-{b_n}={2^{n-1}}$．
∴${b_n}=4n-2-{2^{n-1}}$（n∈N^*）．
故{b_n}的通項公式為${b_n}=4n-2-{2^{n-1}}$（n∈N^*）．
（Ⅱ）由題意，b_k應為數(shù)列{b_n}的最大項．
由$_{n+1}-_{n}=4（n+1）-2-{2}^{n}-4n+2+{2}^{n-1}$=4-2^n-1（n∈N^*）．
當n＜3時，b_n+1-b_n＞0，b_n＜b_n+1，即b₁＜b₂＜b₃；
當n=3時，b_n+1-b_n=0，即b₃=b₄；
當n＞3時，b_n+1-b_n＜0，b_n＞b_n+1，即b₄＞b₅＞b₆＞…
綜上所述，數(shù)列{b_n}中的最大項為b₃和b₄．
故存在k=3或4，使?n∈N^*，都有b_n≤b_k成立．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查推理論證能力，屬中檔題．