Question

已知，PA垂直于正方形ABCD所在平面，且PA=AB．
（1）求平面PDC與平面ABCD所成二面角的大��；
（2）求二面角B-PC-D的大��；
（3）求二面角A-PB-C的大�。�
（4）求平面PAC與平面PCD所成二面角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：設(shè)PA=AB=1，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的大�。�

解答： 解：（1）設(shè)PA=AB=1，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，以AD為y軸，
以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，1，0），P（0，0，1），

PD

=(0，1，-1)，

PC

=（1，1，-1），

PB

=（1，0，-1），
設(shè)平面PCD的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PC =x+y-z=0 n • PD =y-z=0

，
取y=1，得

n

=（0，1，1），又平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
設(shè)平面PDC與平面ABCD所成二面角的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

2

|=

2

2

，∴θ=45°，
∴平面PDC與平面ABCD所成二面角為45°．
（2）設(shè)平面PCB的法向量

p

=(a，b，c)，
則

n • PC =a+b-c=0 n • PB =a-c=0

，取a=1，得

p

=(1，0，1)，
設(shè)二面角B-PC-D的平面角為α，
則cosα=|cos＜

n

，

p

＞|=|

1

2 × 2

|=

1

2

，∴α=60°，
∴二面角B-PC-D的大小為60°．
（3）∵面APB的法向量

q

=（0，1，0），
∴cos＜

q

，

p

＞=

0

2

=0，
∴二面角A-PB-C的大小為90°．
（4）

AP

=(0，0，1)，
設(shè)平面PAC的法向量

r

=（x₁，y₁，z₁），
則

AP • r =z1=0 PC • r =x1+y1-z1=0

，取x₁=1，得

r

=（1，-1，0），
設(shè)平面PAC與平面PCD所成二面角的平面角為β，
cosβ=|cos＜

r

，

n

＞|=|

-1

2 × 2

|=

1

2

，∴β=60°，
∴平面PAC與平面PCD所成二面角的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．