Question

已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₃+a₁+a₃=140，a₁=31．
（1）求通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n；
（3）是否存在最大的正整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N^*，都有

λ|an-34|+24

Tn

≤1？若存在，求出最大的正整數(shù)λ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用S₃+a₁+a₃=140，a₁=31，求出公差，即可求通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，對(duì)n分類(lèi)討論，利用等差數(shù)列的求和公式，即可求T_n；
（3）

λ|an-34|+24

Tn

≤1得λ≤

Tn-24

3n

，求出右邊的最小，即可求出最大的正整數(shù)λ．

解答： 解：（1）∵S₃+a₁+a₃=140，a₁=31，
∴3×31+3d+31+31+2d=140，
∴d=-3，
∴a_n=-3n+34；
（2）當(dāng)1≤n≤11時(shí)，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…a_n=

65n-3n2

2

當(dāng)n≥12時(shí)，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=2（a₁+a₂+…+a₁₁）-（a₁+a₂+…+a_n）=

3

2

n2-

65

2

n+352
（3）

λ|an-34|+24

Tn

≤1得λ≤

Tn-24

3n

，
n≤11時(shí)，

Tn-24

3n

=

1

6

[65-3（n+

16

n

）]，
令b_n=n+

16

n

，f（x）=x+

16

x

（x＞0），則f′（x）=1-

16

x2

=0，x=4，
∴0＜x＜4，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x＞4，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴1≤n＜4，b_n＞b_n+1，b₁=17最大；
4＜n＜11，b_n＜b_n+1，b₁₁=

137

11

最大，
∵17＞

137

11

，
∴1≤n≤11時(shí)，b₁=17最大，
此時(shí)

Tn-24

3n

=

7

3

③最��；
n≥12時(shí)，

Tn-24

3n

=

n

2

+

328

3n

-

65

6

，
令C_n=

n

2

+

328

3n

，仿上面討論得，
12≤n≤14時(shí)，C_n＞C_n+1，此時(shí)，C₁₄=15-

4

21

最小，
n≥15時(shí)，C_n＜C_n+1，此時(shí)，C₁₅=15-

19

90

最小，
顯然C₁₅＞C₁₄，因此

Tn-24

3n

最小值為C₁₄-

65

6

=4+

1

6

-

4

21

④，
比較③④知，λ≤

7

3

，
∴存在最大正整數(shù)λ=2，滿(mǎn)足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．