Question

已知函數(shù)f（x）=cos²（x-

π

6

）-sin²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間及最小正周期；
（Ⅱ）若對于任意的x∈[0，

π

2

]，都有f（x）≤c，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換可得f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

），于是可求其周期與單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]⇒sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，于是可求得實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

1+cos(2x- π 3 )

2

-

1-cos2x

2

=

1

2

（cos（2x-

π

3

）+cos2x）=

1

2

（

3

2

cos2x+

3

2

sin2x）=

3

2

sin（2x+

π

3

），
則T=

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ（k∈Z），
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．
（2）因?yàn)閤∈[0，

π

2

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
所以f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

）∈[-

3

4

，

3

2

]，
故c≥

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的周期性與單調(diào)性及其求法，著重考查三角恒等變換與正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．