如果函數(shù)f(x)對(duì)給定區(qū)間l上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2都滿足不等式f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間l上具有性質(zhì)M.
(1)寫(xiě)出一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x),使得f(x)在(0,+∞)上具有性質(zhì)M;(不需說(shuō)明理由)
(2)(i)求證:函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[0,+∞)上具有性質(zhì)M;
(ii)設(shè)x,y∈R*,且x 
3
2
+y 
3
2
=a(a為正常數(shù)),試求x3+y3的最小值;
(3)已知函數(shù)f(x)=
x2+2x,x≥-2
x+2,x<-2
,若實(shí)數(shù)a使得f(x)在區(qū)間[a,5](a<5)上具有性質(zhì)M,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn):抽象函數(shù)及其應(yīng)用,分段函數(shù)的應(yīng)用
專題:證明題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)舉底數(shù)為(0,1)的對(duì)數(shù)函數(shù);
(2)(。┻\(yùn)用新定義證明f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
,即可;
(ⅱ)運(yùn)用f(x)=x2在區(qū)間[0,+∞)上具有性質(zhì)M,將
x3+y3
2
=
x
3
2
×2
+y
3
2
×2
2
,即可求出最小值;
(3)討論:①當(dāng)-2≤a≤5時(shí),f(x)=x2+x,運(yùn)用作差驗(yàn)證f(x)在區(qū)間[a,5](a<5)上具有性質(zhì)M.
②當(dāng)a<-2時(shí),f(x)在區(qū)間[a,5](a<5)上不具有性質(zhì)M.
解答: (1)解:y=log0.5x;
(2)(。┳C明:設(shè)x1,x2∈[0,+∞),
∵(
x1+x2
2
2-
1
2
(x12+x22)=-
1
4
(x1-x22≤0,
∴函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[0,+∞)上具有性質(zhì)M;
(ⅱ)解:∵
x3+y3
2
=
x
3
2
×2
+y
3
2
×2
2
≥(
x
3
2
+y
3
2
2
2=
1
4
a2
(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào))
∴x3+y3的最小值是
1
2
a2;
(3)解:①當(dāng)-2≤a≤5時(shí),f(x)=x2+x,在[a,5]內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2
∵f(
x1+x2
2
)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]=(
x1+x2
2
2+
x1+x2
2
-
1
2
(x12+x22+2x1+2x2
=-
1
4
(x1-x22≤0,
∴f(x)在區(qū)間[a,5](a<5)上具有性質(zhì)M.
②下面說(shuō)明當(dāng)a<-2時(shí),f(x)在區(qū)間[a,5](a<5)上不具有性質(zhì)M.
設(shè)t是2和-2-a中較小的數(shù),令x1=-2-t,x2=-2+t,此時(shí)x1,x2∈[a,0]且f(x1),f(x2)的值均為負(fù)數(shù),
∴f(x1)+f(x2)<0,而f(
x1+x2
2
)=f(-2)=0,
∴當(dāng)a<-2時(shí),f(x)在區(qū)間[a,5](a<5)上不具有性質(zhì)M.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2,5].
點(diǎn)評(píng):本題考查新定義及運(yùn)用,考查求最值,理解性質(zhì)M是迅速解題的關(guān)鍵,本題屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=cos2(x-
π
6
)-sin2x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間及最小正周期;
(Ⅱ)若對(duì)于任意的x∈[0,
π
2
],都有f(x)≤c,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

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(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=mf(x)+
x2
2
-mx,其中1<m<3.求證:當(dāng)x∈[1,e]時(shí),-
3
2
(1+ln3)<g(x)<
e2
2
-2.

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已知函數(shù)f(x)=alnx+
1
x
(a>0)
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如圖△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,AE=AB=2a,CD=a,F(xiàn)為BE中點(diǎn).
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x
a
,其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,0),(3,0),如圖所示.
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