Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+ln（x-a）a∈R．
（Ⅰ）若f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a≤-2時(shí)，用g（a）表示f（x）在[-1，0]上的最大值，求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令h（x）=2x²-2ax+1，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出f（x）的最大值，從而求出g（a）的表達(dá)式．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=2x+\frac{1}{x-a}=\frac{{2{x^2}-2ax+1}}{x-a}（x＞a）$…（1分）
∵f（x）有兩個(gè)不同的極點(diǎn)
∴令h（x）=2x²-2ax+1，則h（x）有兩個(gè)大于a的零點(diǎn)
∴$\left\{\begin{array}{l}△=4{a^2}-8＞0\\ h（a）＞0\\ a＜\frac{a}{2}\end{array}\right.$∴$a＜-\sqrt{2}$；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)a≤-2時(shí)，f（x）在$（a，\frac{{a-\sqrt{{a^2}-2}}}{2}]$，$[\frac{{a+\sqrt{{a^2}-2}}}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增；在$[\frac{{a-\sqrt{{a^2}-2}}}{2}，\frac{{a+\sqrt{{a^2}-2}}}{2}]$上單調(diào)遞減，${x_1}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}-2}}}{2}=\frac{a}{2}-\frac{{\sqrt{{a^2}-2}}}{2}≤-1-\frac{{\sqrt{{a^2}-2}}}{2}＜-1$
又${x_2}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}-2}}}{2}，\sqrt{{a^2}-2}＜\sqrt{a^2}=-a$，故x₂＜0，-------------------------（8分）
注意到h（x）=2x²-2ax+1的對(duì)稱軸$x=\frac{a}{2}＜-1$h（-1）=3+2a＜0，h（0）=1＞0，可推知-1＜x₂＜0，
∴當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，g（a）=f（x）_max=max{f（-1），f（0）}---------------------（10分）
而f（0）=ln（-a），f（-1）=1+ln（-1-a），
又若$f（0）＞f（-1），a=\frac{-e}{e-1}$，但$\frac{-e}{e-1}＞-2$，故f（0）＞f（-1）不成立
綜上分析可知，g（a）=f（-1）=1+ln（-1-a）（a≤-2）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道綜合題．