Question

12．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$．若△PF₁F₂的面積為9，則b=3．

Answer 1

分析 運(yùn)用橢圓的定義，可得PF₁+PF₂=2a．再由勾股定理，即可得到PF₁•PF₂的值．再由面積公式即可得到b的值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
則PF₁+PF₂=2a，
由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，
∴$\overline{P{F}_{1}}$⊥$\overline{P{F}_{2}}$，
由勾股定理可知：PF₁²+PF₂²=F₁F₂²，
∴（PF₁+PF₂）²-2PF₁•PF₂=4c²，4a²-2PF₁•PF₂=4c²，
2PF₁•PF₂=4a²-4c²=4b²，
∴PF₁•PF₂=2b²，
則△PF₁F₂的面積為S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂=b²．
由△PF₁F₂的面積為9，
∴b=3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和定義及性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．